IMO，这个一年一度的数学竞赛爱好者盛会已经降下帷幕。按照惯例，我留下几句话作为自己对这一届IMO观察和感想的总结。
Turbo踪隐江湖外，英雄座归寻常间
在上一届IMO中，P5的蜗牛Turbo以一己之力撼动江湖，它给中、韩、越等强队带来了苦涩的记忆，也给奥、新等传统弱队留下了意外的欣喜。
尽管今年IMO在赛题选择上仍存在不少可以商榷之处，但赛题选择委员会（PSC）没有再让Turbo这样的刺客出现，比赛的结果也没有出现黑天鹅。
在团体排名前20的代表队中，中、美（俄）稳居第一档，韩国队前三/四的地位虽然受到了日本和波兰队的冲击，但凭借其在过往十几年的稳定发挥，韩国队的实力仍然稳居第一档。日本和波兰这两支队伍的实力并不算特别强，在过去的5届IMO中，日本队平均排名14.2，波兰队平均排名14.4。
整体上来说，亚洲代表队在本届IMO上的成绩十分亮眼。除了中、韩、日名列前5以外，如果出于地理位置的原因将以色列和土耳其也归于亚洲，那么从团体第6名到第12名的这7支队伍全部来自亚洲：以色列(6)，印度(7)，新加坡(8)，越南(9)，土耳其(10)，香港(11)，伊朗(12)。亚洲传统强队中，只有蒙古队，台湾队和泰国队稍稍落后，但它们也全都跻身于团体前25名。
值得一提的是，印度队去年排名第4的表现并非昙花一现，本届比赛中印度队排名第7，显示出其稳定上升的实力。
相比之下，欧洲队的排名不甚理想。除了不计入排名的俄罗斯、以及排名第4的波兰队外，传统强队罗马尼亚队、匈牙利队分别排名第13和第14，英国队第16，意大利队第18。上一届表现惊艳的白俄罗斯队掉到了第26，其它上届排名靠前的波黑队、法国队、塞尔维亚队、奥地利队等代表队在本届比赛中排名有不同幅度的回落。
东道主澳大利亚队则打了一场漂亮的翻身仗，他们在本届IMO上排名第15，这也是澳大利亚队自2021年以来在IMO上的最高排名。
第66届IMO团体排名【1】。
本届IMO共有112支代表队报名，其中布基纳法索的6名队员参加了开幕式，但没有出现在成绩榜上，另有一支队伍没有参赛，所以本届IMO最终参赛队伍数为110支，低于2019年英国巴斯和2023年日本千叶两届IMO创下的112支代表队的纪录。
普照阳光映海岸，今年轮到金牌区
赛题的难度分层，决定了奖牌榜的走向，如何从PSC给出的赛题短名单（short list）中投票选择出最终的6道赛题，历来是赛前领队会议上最重要的议题。
一般来说，实力较弱的代表队关注的焦点是P1/P4，他们希望自己的选手能够至少完整地答出一道题，从而有荣誉奖保底；实力较强的代表队关心的是P2/P5，他们希望这两道中等难度的题是自己队员熟悉的类型，且恰好是本队队员将将能够做出来的难度；而第一档的强队只关心P3/P6，因为他们默认其它的四道题大家都能做对，只有最难的这两道题可以带来区分度。
在这样的考虑下，P1/P4往往成为IMO上阳光普照的两道题。今年IMO的P1/P4虽然在难度上并没有比往年高多少，但在评分细则上更加严格，对于弱队选手来说要得到满分并不那么容易。因此，除了题目特别难的2021年，今年得到荣誉奖的人数与往年相比更少，比例更低。
年份荣誉奖人数参赛人数荣誉奖占比202513263021%202417060928%202319261831%202221058936%20219861916%
与P1/P4相比，今年的P2/P5以及P3都比较简单，但P6非常难。这个赛题组合使得原本清晰地分为三个档次的难度层次被极大程度地压缩到了两档，甚至一档半——对于实力较强、但非顶级的选手来说，P6谁都做不出，P1-P5谁都做得出。
表现在分数分布上，我们可以清晰地看出，35分居然是选手人数占比最大的得分——一共有46名选手同分，他们以35分并列个人榜第27名。
这个畸形的得分分布给金牌线的划分带来了很大的麻烦。
根据IMO奖牌线划分原则，一半的参赛选手将获得奖牌，且奖牌中金、银、铜牌的比例应接近于1:2:3。因此，按照630名参赛选手计算，一个正常的金牌数应该接近于52或者53。麻烦的是，在本届IMO上，获得不低于36分的选手人数只有26人，这个数字只是52的一半；而获得不低于35分的选手人数为72人，这个数字比52或者53要多出将近20人。
最终，领队会议决定将金牌线划在不低于35分，这样46名获得35分的选手压线获得金牌，阳光普照，皆大欢喜。
第66届IMO金牌获得者名单。
根据统计，今年P6的平均得分只有0.184，P3的平均得分则高达1.600，P6平均得分、以及P6平均得分与P3平均得分的比值均为近年来最低。实际上，今年的P6是2000年以来共26届IMO中平均得分第3低的P6，而今年的P3则是这26届IMO中平均得分最高的P3。
年份P6平均得分P3平均得分P6平均得分与P3平均得分的比值20250.1841.6000.1220240.3960.4370.9120230.2751.2560.2220220.6830.8080.8520210.4810.3721.29
在P6上获得满分7分的选手只有6名，其中的5名选手，中国队的邓乐言、张恒烨，加拿大队的Warren Bei，俄罗斯选手Ivan Chasovskikh和日本队的狩野慧志都获得了满分金牌，只有斯洛伐克队的Matej Bachniček因为在P3上失分，最后以36分错失满分。可谓，得P6者得满分！
另外，从各题得分的相关性分析我们可以看到，P5得分与其它各题的得分相关性最高，除了P6得分与P3得分相关性较高以外，其它四道题的得分与P5得分的相关性都是最高的。换句话说，得P5者得天下！
总体上来说，组合题带来区分度已经成为了一个趋势。在数论、几何、代数和组合四大模块中，组合的内容丰富，相对灵活，对于选手来说准备的难度也最大，因此组合题往往成为团体排名和个人排名的tie breaker。今年的P6是组合题，去年的Turbo P5也是组合题。实际上，在P6的题目表述中，“没有贴瓷砖的方格”也可以表述为“被蜗牛Turbo占据的方格”，只是今年没有继续用蜗牛这个梗儿罢了。
一个舞台多赛道，千般精彩各争辉
英国队的徐子丰仍然在挑战宋卓群IMO名人堂第一的赛道上。
今年徐子丰在P6上颗粒无收，但他在P1-P5上稳定发挥，幸运地以35分获得一枚金牌。这样，徐子丰到目前为止在六届IMO上一共获得了4金2银，来到了IMO名人堂的第二位，离榜首的宋卓群只差1金。不出意外的话，他还将出现在下一届IMO的赛场上，获得金牌的悬念对他来说或许只存在于对心理状态的调整上。
对于加拿大队的Warren Bei来说，今年的IMO大抵是他的最后一届。虽然他已经退出了挑战名人堂榜首的赛道，但满分金牌无疑是Warren Bei在他参加的所有五届IMO上取得的最大亮点，以这个成绩从IMO退役堪称圆满，也值得大家给予更多的掌声。
名人堂中已获得3金以上的现役选手不多，除了徐子丰和Warren Bei，美国队的Alexander Wang和罗马尼亚队的Pavel Ciurea今年也各自获得了他们的第三枚IMO金牌。不过，这两位选手也很有可能就此退役，在今年秋天进入大学学习。
女选手方面，赛前被我看好的美国队的Hannah Fox和澳大利亚队的Laura Nan都没有获得理想的成绩，她俩分别以33分和28分获得一枚银牌。
本届IMO排名最高的女选手为韩国队的Hyewon Yoon，波兰队的Magdalena Pudełko，和英国队的Teri Xu，她们都以35分获得金牌。
因为Hyewon Yoon和Teri Xu都没有参加过EGMO，而Magdalena Pudełko在今年的EGMO上以37分获得金牌，在所有选手中排名第3，所以根据我心目中的标准，Magdalena Pudełko接替去年的Jessica Wan，成为了新一任的“奥数一姐”。
在本届IMO上获得银牌的女选手共5名，她们是美国队的Hannah Fox (33)，意大利队的Anna Kazhamiakina (31)，澳大利亚队的Laura Nan (28)，瑞典队的Jiachen Mi (28)，和瑞士队的Hongjia Meng (28)。
获得铜牌的女选手则有9名，她们是白俄罗斯队的Stefaniya Shuturminskaya (26)，南非队的Yian Xu (23)，英国队的Aanya Goyal (23)，法国队的Ruirong Li (22)，越南队的Thanh Xuan Truong (22)，立陶宛队的Rugilė Dzindzalietaitė (21)，斯洛伐克队的Lucia Chladná (21)，斯洛文尼亚队的Patricia Király (21)，和澳大利亚队的Zihui Zhang (20)。
因为IMO官网上不再提供选手们的性别信息，所以以上统计可能存在遗漏或者错误。
在闭幕式上，各大洲成绩最好的5名女选手获得了以IMO满分金牌得主、菲尔茨奖获得者米尔札哈尼命名的女选手奖。其中，非洲区的得主为南非队的Yian Xu，澳大拉西亚（Australasia）区的得主为澳大利亚队的Laura Nan，美洲区的得主为美国队的Hannah Fox，亚洲区的得主为韩国队的Hyewon Yoon，而欧洲区的得主为波兰队的Magdalena Pudełko。
为什么同分的英国队的Teri Xu没有能够得到米尔札哈尼奖？具体原因不清楚。但从以下英国队在巴尔干数学奥林匹克竞赛（BMO）的日记来看，Teri Xu应该是有资格竞争欧洲区米尔札哈尼奖的。
英国队BMO日记截图【2】。
再来看看比利时队今年的表现。
总体上来说今年比利时队的表现好于预期，尤其是Pierre Akin Dürrüoglu以35分为比利时队获得40年来的又一块金牌，放了一个大卫星。
客观地说，比利时法语区的奥数选拔和培训都要优于荷语区，今年六名队员中排名靠前的三名队员全部来自于法语区，这样的情形已经是连续第二年出现。荷语区的奥数组织者们真该进行认真反思，拿出有效的手段进行改革了。
Akin来自一个土耳其裔家庭，父母都是音乐家，但从小给予了兄弟俩良好的环境发展他们在数学方面的天赋。Akin的哥哥曾经代表比利时参加过2020年和2021年两届IMO，Akin自己代表比利时连续参加了2022年到今年的四届IMO。兄弟俩联手让Dürrüoglu这个姓氏连续七年出现在比利时IMO代表队的名单上。
Akin取得成功的关键因素是勤奋。虽然很小的时候就展现出来了较强的数学能力，但Akin前三届IMO比赛的成绩并不是特别耀眼，只获得了两枚铜牌和一个荣誉奖，他的几何比较强，但在其他三个领域还存在着明显的短板。Akin最近一两年的进步，得益于他对数学竞赛的热情以及因此付出的时间，也得益于他比、法双重国籍，他在代表法国队参加巴尔干数学奥林匹克和罗马尼亚数学大师赛的过程中，逐渐补足了短板，提升了自己的综合实力。这次IMO上Akin能够稳稳地拿下P1-P3以及P5，P4接近满分，并在P6上抢下1分，从而以压线的成绩获得金牌。可谓机遇从来不会亏待勤奋，Akin的努力终于让他获得了丰厚的回报。
数学竞赛的未来，职业化还是AI？
下面，再聊几毛钱关于数学竞赛的未来。
在参加IMO的选手中，仅仅出于对数学热爱的孩子应该并不多，大多数孩子学习和参加数学竞赛可能都是靠双引擎驱动，一个引擎是对数学的热爱和兴趣，另一个引擎则是升学。
以升学或者部分以升学为目的，这是无可厚非的现实。不论是在中国，在东亚文化圈，在欧美，还是在教育欠发达国家和地区，在数学奥林匹克竞赛或者IMO上取得的好成绩对选手们申请进入理想中的大学一定是有帮助的。
这样的现实多少给数学竞赛带来了一些功利主义的做法，比如起步参与数学竞赛的年龄越来越小，比如依靠近来中国奥赛教练的输出快速提升能力，这些做法同样无可厚非。
利用小学和初中相对宽松的升学压力，将中学六年级的基础数学压缩在高小到初一这三年完成，然后再用初中两年准备高联和CMO，希望在高一时就能拿到CMO金牌甚至进入集训队，这在国内数竞圈似乎已经成为了标准的时间线。
而依靠天然的语言优势，聘请国内数竞教练给孩子加码提升，也渐渐成为了海外华裔选手家长的首选。在近两届的IMO上，我们看到越来越多的国家和地区的IMO代表队中出现了华裔的身影，这种以往仅出现在以英语为母语的移民国家的现象现在已经有了星火燎原之势，很多非英语母语、非移民国家也出现了华裔选手的身影。
这些现象，都还算正常。
让人担忧的是，现在出现了数竞产业化的苗头，越来越多的选手为了出成绩，全脱产地投身于培训机构学习数竞。且不说这样的做法是否有利于个人学科能力的均衡发展，这种全脱产的模式更近似于培养数竞职业选手，这些职业选手在IMO上和其他国家的业余选手同台竞技，真的公平吗？
类似的做法其实早已有之，比如不少东欧国家都有精英高中，其教学大纲和教学目的都和其他高中不同，学生在校学习的目的就是参加学科竞赛，这使得五大竞赛的国家队队员基本上都来自于同一所中学。在其他国家，有一些家庭为天赋卓越的孩子选择home schooling，因为教学上的自由度，这些孩子也有更多的时间用于准备数学竞赛。
所以，以后的IMO是否需要区分职业选手和业余选手？是否需要区分数竞生产线批量出来的产品和手工打磨的单品？
这两天，一个火爆的话题是关于AI在本届IMO赛题上的表现。
我对DeepMind还是OpenAI谁更合规、谁更厚道没有太多兴趣，这里只是分享几点关于AI在数学竞赛方面应用的感想。
首先，对IMO赛题的理解、推理和解决是比成为一个围棋高手更加复杂的问题。
大语言模型首次直接应用于IMO赛题，这无疑是一个技术上的突破，这意味着无须专家的翻译，AI可以理解以自然语言描述的竞赛问题，而且以自然语言输出推理过程和证明。根据IMO委员会主席先生的评价，Gemini给出的解答星期、准确、大部分很容易被协调员所理解。
Gemini给出的部分答案截图【3】。
在推理方面，据称Gemini的研究团队为模型准备了一个针对性很强的数学问题解答库，并把数学竞赛中常见的一些技巧结合在提示中，无疑这个操作使得Gemini的推理能力得到了较大的提升。不过这也给人们带来了新的疑问：在没有研究团队的帮助下，AI能否通过推理自行总结出这些技巧？
其次，如果有一天在IMO赛道上AI的能力超过了人类的能力，数学竞赛的未来在哪里？
我觉得这好比有了汽车我们还有博尔特，有了AlphaGo我们还有围棋世界冠军，即便哪一天AI在IMO上的成绩超过了人类选手，那么IMO作为人类挑战数学难题的舞台，仍然具有重大的意义。IMO的金牌以及满分冠军的成色，不会因为AI的发展而褪色半分。
第三，如果有一天在IMO赛道上AI的能力超过了人类的能力，选手们是否可以利用AI来提高自己的竞赛能力？
这个问题很有意思。数学竞赛和围棋不一样，围棋是对抗性游戏，且AI可以找到几乎最优的下法，所以和AI对弈确实提高人类棋手的竞技水平。而IMO的挑战来自于赛题，而不是来自于对手，所以人类选手在多大程度上可以从AI的解题思路中受到启发，目前这里还需要打一个问号。
不过，对于相对低水平的数学竞赛，AI可以在提示词下给出不同的解题思路，而这些思路基于常见的定理或者数学知识，这对选手们在数竞方面的学习一定是有益的。
一些花絮
花絮一：在赛场之外，政治永远不会缺席。
本届IMO开赛之前，有几百名来自各个国家的数学家联署，要求IMO委员会比照2022年对俄罗斯军事行动采取的决议，暂停以色列的代表资格。这一动议在阳光海岸再次被主席先生搁置，为了平息呼声，深谙政治操作的斯洛文尼亚人转而提议从下一届IMO开始恢复俄罗斯的代表资格。根据目前的消息，这一提议得到了领队会议多数票支持。
这意味着，在明年在上海举行的第67届IMO上，俄罗斯将再次组队参加，同时以色列队的代表资格不会受到影响。这个结果对于东道主中国来说应该是乐见的。
从最近几年由清华大学主办的国际数学暑期夏令营（IMSC）来看，中国举办IMO一定是高规格、高标准、高福利的，应该可以吸引更多奥数欠发达的国家和地区参加。再加上俄罗斯代表资格的恢复，以及朝鲜代表队可能的复出，那么参加第67届IMO代表队的数量超过112、赛会创下新的纪录是完全可能的。
本届IMO的领队会议还决定2028年第69届IMO将在沙特阿拉伯举行。此外，比利时的IMO观察员Ria van Huffel 接班丹麦人Kirsten Rosenkilde，成功当选为新一届的IMO委员会秘书长。
比利时这个国家很有意思，本身是个小国，但擅长搞 (dao) 政 (jiang) 治 (hu)的人不少。在比利时的前首相中，卸任后担任欧洲理事会主席或欧盟委员会主席的就有好几个。
花絮二：开幕式上的张冠李戴。
塔吉克斯坦队入场，大屏幕上显示的旗帜不解释，现场观众低声起哄的不少。
北马其顿队入场。这次大屏幕没有搞错，但北马队员展示了一面维吉纳太阳旗。因为历史原因，北马其顿和希腊之间就马其顿地区的名称和历史文化遗产存在争议，这使得维吉纳太阳旗的使用成为一个敏感问题。
花絮三：P6与阳光海岸机场地砖图案设计的玄学。
下面是本届IMO P6的描述。
Problem 6: SGP (Zhao Yu Ma and David Lin Kewei)
简单来说，P6要求网格中每一行和每一列上有且只有一个方格没有被瓷砖覆盖。有心人找到了阳光海岸机场的地砖镶嵌。如下图【4】。
不知道P6的出题人、新加坡的Zhao Yu Ma和David Lin Kewei是不是之前来过阳光海岸？如果没有来过，这可能就是所谓的玄学吧！
参考出处：
https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2025&column=total&order=desc
https://www.imo-register.org.uk/2025-balkan-report-students.pdf
https://storage.googleapis.com/deepmind-media/gemini/IMO_2025.pdf
https://stea.com.au/sunshine-coast-airport/
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